广义相对论期末复习

发表于 2023-02-10 更新于 2023-12-28 分类于物理阅读次数： Waline：本文字数： 3.8k 阅读时长 ≈ 7 分钟

关于广相期末考你应该记得的公式：

这篇文章是用于期末复习的，因此只会列出重要的(~~写文章的时候脑子里记得的~~)的公式，并不会写详细的推导以及来龙去脉

协变导数(Covariant derivative):

$\begin{cases} \nabla_\mu T^\nu=\partial_\mu T^\nu +\Gamma^\nu_{\mu\rho}T^\rho\\ \nabla_\mu T_\nu=\partial_\mu T_\nu -\Gamma^\rho_{\mu\nu}T_\rho \end{cases}$

克氏联络(Christoffel symbol):

$\begin{equation} \Gamma^\mu_{\alpha\beta}=\frac{1}{2}g^{\mu\lambda}(\partial_\alpha g_{\beta\lambda}+\partial_\beta g_{\alpha\lambda}-\partial_\lambda g_{\beta\alpha}) \end{equation}$

黎曼曲率张量(Riemann tensor)：

${R^\rho}_{\sigma\mu\nu}=\partial_\mu \Gamma^\rho_{\nu\sigma}-\partial_\nu \Gamma^\rho_{\mu\sigma}+\Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma}-\Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}$

里奇张量(Ricci tensor):

$R_{\mu\nu}={R^\rho}_{\mu\rho\nu}$

里奇标量(Ricci scalar):

$R=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$

爱因斯坦张量(Einstein tensor):

$G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R$

测地线方程(Geodesics equaiton):

$\frac{d^2x}{d\lambda^2}+\Gamma^\mu_{\alpha\beta}T^\alpha T^\beta=0$

其中代表曲线的切矢。

测地偏离方程(Geodesics deviation equation):
$D^2 (\delta x^\mu)={R^\mu}_{\nu\alpha\beta}T^\nu T^\alpha \delta x^\beta$
其中代表，是测地线之间的偏离。
爱因斯坦方程(Eintein equaiton):

$G_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$

如果带上宇宙常数，则是:

$G_{\mu\nu}+g_{\mu\nu}\Lambda=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$

史瓦西解(Schwarzchild solution):

$ds^2=-\left(1-\frac{r_s}{r}\right)dt^2+\frac{dr^2}{\left(1-\frac{r_s}{r}\right)}+r^2\left(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2\right)$

引力场时间膨胀(Gravitatinal time dilation):
其中代表史瓦西半径，$r_s=\frac{2GM}{c^2} $或者$ 2GM$(c=1时)。
$\sqrt{1-\frac{2GM}{c^2r}}\Delta t=\Delta \tau$
选取了坐标系后，流形上每个点的观测者都有共同的坐标时t，但他们自己的时间应该是，因此有:
$\require{physics} \begin{aligned} \frac{\Delta\tau_1}{\sqrt{1-\frac{2GM}{c^2r_1}}}=&\frac{\Delta\tau_2}{\sqrt{1-\frac{2GM}{c^2r_2}}}\\ \Rightarrow \Delta\tau_1\approx& \sqrt{1+\frac{2GM}{c^2r_1}-\frac{2GM}{c^2r_2}}\Delta\tau _2 \end{aligned}$
引力红移(Gravitational redshift):

$\begin{align} \omega_1 \Delta\tau_1=&\omega_2\tau_2\\ \Rightarrow \frac{\omega_1}{\omega_2}=&\frac{\eval{\sqrt{g_{00}}}_2}{\eval{\sqrt{g_{00}}}_1}\\ \approx& 1+\frac{r_s}{2c^2}\pqty{\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}} \end{align}$

光线偏折(Gravitional light deflection):

$\begin{cases} 运动方程:&\dv[2]{u}{\phi}+u=\frac{3GM}{c^2}u^2\\ 微扰解:&u=\frac{\sin\phi}{u}+\frac{r_s}{2c^2R^2}\pqty{1+\cos^2\phi} \end{cases}$ $\Rightarrow 偏折角\Delta \phi=\frac{4GM}{c^2R}$

雷达回波延迟(Gravitational time delay):
从某处到另外一处的时间延迟为: $\Delta t(r_1\to r_2)=\frac{r_s}{r}\pqty{1+\ln{\frac{4r_1r_2}{R^2}}}$

关于期末考你或许应该知道的一些性质

Bianchi I
${R^\rho}_{[\sigma\mu\nu]}=0$
Bianchi II
$\nabla_{[\alpha}{R^\rho}_{|\sigma|\mu\nu]}=0$
爱因斯坦张量的散度(Divergence of )
$\nabla^\mu G_{\mu\nu}=0$
里奇张量的散度(Divergence of )
$\nabla^\mu R_{\mu\nu}=\frac{1}{2}\nabla_\nu R$
任意矢量的散度(Divergence of any vector)
$\nabla_\mu A^\mu=\frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_\mu\pqty{\sqrt{-g}A^\mu}$
为了证明上述公式，你应该知道的结论：
$\begin{align} a=&\frac{\epsilon^{\mu_1...\mu_n}\epsilon^{\nu_1...\nu_n}}{n!}a_{\mu_1\nu_1}...a_{\mu_n\nu_n}\\ A^{\mu\nu}=&\frac{\epsilon^{\mu\mu_2...\mu_n}\epsilon^{\nu\nu_2...\nu_n}}{n!}a_{\mu_2\nu_2}...a_{\mu_n\nu_n}\\ \end{align}$

理想流体的能动张量(Energy momentum tensor of ideal fluid): $T^{\mu\nu}=(\rho+\frac{p}{c^2})T^\mu T^\nu+g^{\mu\nu}p$

实际考了的

20级期末考题（授课老师张鹏鸣）

给简单的对角度规，求测地线方程（两个大题）

这个很简单，送分
利用Bianchi II恒等式证明Einsein张量散度为0

这个也不难
Killing矢量的性质（张量运算）

这个还是很简单的。
还有一些不好评价的题目

比如问你对相对论时空和非相对论时空的理解、还有如何从Einstein张量散度为0的性质得到带宇宙常数的场方程。没看课件，只记得梁灿彬老师这方面的思路，也不知道是不是题目希望我回答的 orz（还是太菜了）

21级期末考题（授课老师陈坤全）

引力波

什么是规范变换？为什么要规范变化？规范自由度有多少个？爱因斯坦场方程解的物理自由度有几个？
考虑$g{\mu\nu}=\eta{\mu\nu}+h{\mu\nu} $，请写出$ h{\mu\nu}$规范变换
什么是TT规范？引力辐射有几个自由度？
有一个质量为m的粒子沿x轴作Acoswt的简谐运动，求在引力波源下在z方向的$h{jk} $是多少？（给出$ h{zi} $，$ h{xx}=-h{yy} $，$ h_{xy}$的公式）
LIGO的探测原理是什么？人类目前探测到的引力波信号的来源是什么？

黑洞

施瓦西度规描述的是什么时空？
施瓦西度规怎么写？假设静止在（，，）的静止参考系观测到一个光子，频率为，然后这个光子去到无穷远，问在无穷远处静止系观测到的光子频率是多少？（引力红移）
假设有一束光从无穷远处经过（y=R），在原点处有一个黑洞，质量为M，问光线的偏折角度？
讨论施瓦西时空的奇点性质
黑洞存在的观测证据（两条）

宇宙学

宇宙学原理是什么？
角度为delta-theta，横向距离为delta-x，问角距离直径
写出FLRW度规，并计算在此度规下的克氏联络（让你写一部分）

试题提供者：村花