初等量子力学期末复习

关于初等量力期末考你应该记得的公式：

这篇文章是用于期末复习的，因此只会列出重要的(写文章的时候脑子里记得的)的公式，并不会写详细的推导以及来龙去脉

更新：补充那些考了哪些没考

1. 基本知识

$$\require{physics}$$

• 动量算符 在位置表象中为
• 位置算符 在动量表象中为
• 我们用态矢 来表示一个量子系统的状态，一般取位置表象，得到波函数
• 从位置空间波函数到动量空间的波函数相差一个傅里叶变换 $$\begin{equation} \psi(p,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int\psi(x,t)e^{-ipx/\hbar}\dd{x} \end{equation}$$

2. 量子动力学

2.1 薛定谔绘景

• 量子态的演化由薛定谔方程决定 $$\begin{equation} H\ket{\psi}=i\hbar\partial_t\ket{\psi} \end{equation}$$
• 初等量子力学基本就是在薛定谔方程，给定不含时的势场后，解定态薛定谔方程便可得到哈氏量 的解空间(即能量本征矢)，能量本征矢张成态矢 $$\begin{equation} \Psi(x,t)=\sum_n c_ne^{-iE_nt/\hbar}\psi_n(x) \end{equation}$$
• 当势场含时的时候，波函数理论上写为: $$\begin{equation} \Psi(x,t)=\sum_n c_n(t)e^{-iE_nt/\hbar}\psi_n(x) \end{equation}$$ 但对于含时的势场，我们一般用海森堡或者狄拉克绘景来解决问题。

2.2 海森堡绘景

• 对于一个幺正算符T(为了不与演化算符U冲突，写作T)，态函数与算符的变换分别为: $$\begin{align} \ket{\psi'}=&T\ket{\psi}\\ A'=&TAT^\dagger \end{align}$$
• 在Schrodinger绘景中，我们解薛定谔方程，而在Heisenberg绘景中，算符承担演化，有如下动力学方程: $$\begin{equation} \dv{A}{t}=\frac{1}{i\hbar}\comm{A}{H} \end{equation}$$

2.3 一维势场 (解方程)

初等量子力学前期的主要内容便是解一维特殊势场，求得不同区域的解后将解拼接起来，要求波函数连续，且一阶导连续(当存在函数时一阶导满足其他条件)，上面的要求我将其称为拼接条件。

一维薛定谔方程有许多性质:

• 势函数为实数时，束缚态波函数总是实函数
• 势函数是偶函数时，束缚态波函数一定是奇函数或者偶函数
• 节点越多能量越高

2.3.1自由势场

解为单色波，无法进行归一化，需要进行解的线性叠加:

$$\begin{equation} \Psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int f(k) e^{ik(x-\frac{k\hbar t}{2m})}\dd{k} \end{equation}$$

，k连续因此能谱连续。

2.3.2 无限深势阱 （考了）

解为三角函数

$$\begin{equation} \psi_n=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\frac{n\pi x}{a} \end{equation}$$

能量，能量的离散化来自于k的离散化，而k的离散化来自于的拼接条件。
(能量的最小值不会小于势场的极小值，这样的波函数是不存在的)

2.3.3 势阱/垒，

• 束缚态
  由于前文提到过的原因，束缚态只能是势阱，在势阱两边解得

  $$\psi(x)=\begin{cases} Ae^{-kx}&,x>0\\ Be^{kx}&,x<0 \end{cases}$$

  零阶拼接条件得到A=B，将薛定谔方程两边同时积分能够得到 势场特有的一阶拼接条件:

  $$\begin{equation} \Delta \eval{\pqty{\dv{\psi}{x}}}_{x=a}=-\frac{2m\alpha}{\hbar^2}\psi(a) \end{equation}$$

  其中a是 势场所在的位置。利用一阶条件可以得到，从而可以得到能量。

• 散射态
  对于散射态我们更关心波的透射和反射系数，以势阱为例子，最后只需将的系数变号即可。散射态在两个区域很容易解得

  $$\begin{equation} \psi(x)=\begin{cases} Ae^{ikx}+Be^{-ikx}&,x<0\\ Fe^{ikx}+Ge^{-ikx}&,x>0 \end{cases} \end{equation}$$

  零阶拼接条件得到： ，一阶拼接得到，两个方程有四个未知数。再假设波从左侧入射，即G=0。如此A代表入射振幅，B代表反射振幅，F代表透射振幅。三个未知数两个方程，可以将其中两个未知数用第三个表示出来，这里我们将反射和透射用入射表示出来：

  $$\begin{align} B=&\frac{i\beta}{1-i\beta}A\\ F=&\frac{1}{1-i\beta}A \end{align}$$

  得到透射系数与反射系数如下：

  $$\begin{align} R=&\frac{\abs{B}^2}{\abs{A}^2}=\frac{\beta^2}{1+\beta^2}\\ T=&\frac{\abs{F}^2}{\abs{A^2}}=\frac{1}{1+\beta^2} \end{align}$$

  其中，当 的符号取反号时，可以看出反射和透射系数均不改变，仅仅是与的相位取反号。

所以对于散射态来说， 的取向并不重要。

2.3.4 有限方势阱/垒

• 束缚态（ ） 束缚态依旧是只存在于势阱中。显然时的解是指数衰减的: $$\begin{equation} \psi(x)=\begin{cases} Ae^{-kx}&,x>a\\ Be^{kx}&,x<-a \end{cases} \end{equation}$$ 而当 时有 $$\begin{align} -\frac{\hbar^2}{2m}\dv[2]{\psi}{x}=&(E+V_0)\psi\\ \Rightarrow \psi(x)=&C\sin lx+D\cos lx \end{align}$$ 其中. 对于四个未知数，拼接条件给出四个方程，但简单起见，我们将波函数分为奇偶两族讨论： $$\begin{equation} 偶=\begin{cases} Ae^{-kx}&,x>a\\ D\cos(lx)&,0<x<a\\ \psi(-x)&,x<0 \end{cases}\qquad 奇=\begin{cases} Ae^{-kx}&,x>a\\ C\sin(lx)&,0<x<a\\ -\psi(-x)&,x<0 \end{cases} \end{equation}$$ 各族都只剩两个未知数，同时也只剩两个拼接方程。使用拼接方程后分别得到: $$\begin{equation} 偶:k=l\tan(la)\qquad 奇: k=-l\cot(la) \end{equation}$$ 令，将z视作自变量，因为k与l相关，所以需要将k也写成z的函数，最后得到: $$\begin{equation} \tan(z)=\sqrt{\pqty{\frac{z_0}{z}}^2-1}\qquad \cot(z)=-\sqrt{\pqty{\frac{z_0}{z}}^2-1} \end{equation}$$ 其中.

将图画出来后(这里还没有设置图床，故无法放图)，我们可以看出无论 多小(对应势阱有多浅)，总是有一个z满足拼接方程(即能解出k)，也就是说对于即便势阱很浅，也存在偶对称的波函数。与之相对的，当势阱很浅的时候，奇对称的情况并不是总有满足条件的z。这也是非常好理解的，因为基态是偶对称无节点的，而奇对称起码有一个节点，最起码也是一个激发态， 太小的时候无法提供最低激发态存在的环境。

• 散射态
  略去

2.3.5 谐振子 (考了)

• 代数法: $$\begin{align} a_{\pm}=&\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega}}\pqty{m\omega x\mp \hbar\dv{x}}\\ a_+\ket{n}=&\sqrt{n+1}\ket{n+1}\\ a_-\ket{n}=&\sqrt{n}\ket{n-1}\\ a_-\ket{0}=0\Rightarrow & \ket{0}=\pqty{\frac{m\omega}{\pi\hbar}}^{1/4}e^{-\frac{m\omega x^2}{2\hbar}} \end{align}$$ $$\begin{equation} \ket{n}=\frac{a_+^2}{\sqrt{n!}}\ket{0} \end{equation}$$

• 级数法
  级数法得到的结果用厄米多项式表示，其实该结果也可以从代数法推出：

  $$\begin{align} a_+=&\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\pqty{\frac{m\omega}{\hbar}x-\dv{x}}\\ =&-\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}} e^{\frac{m\omega}{2\hbar}x^2}\dv{x}e^{-\frac{m\omega}{2\hbar}x^2}\\ \Rightarrow a_+^n=&(-1)^n \pqty{\frac{\hbar}{2m\omega}}^{n/2}e^{\frac{m\omega}{2\hbar}x^2}\dv[n]{x}e^{-\frac{m\omega}{2\hbar}x^2} \end{align}$$

  将上面的结果带入代数法的结果即可得到厄米多项式的结果。

• 对于谐振子的各种平均值的计算，我们一般将算符 和 写成产生湮灭算符 $a+a-$ 的形式，能极大地简化运算。

• 在谐振子势场上加上诸如 的势场，都可以通过配分法重新写成谐振子的形式。

3.氢原子

其实还是在解薛定谔方程，只不过空间维度变成三维，而且一般选取球坐标，导数算符形式与原先不同。

• Laplace算子：

  $$\begin{equation} \laplacian=\frac{1}{r^2}\pdv{r}\pqty{r^2\pdv{r}}+\frac{1}{r^2\sin\theta}\pdv{\theta}\pqty{\sin\theta\pdv{\theta}}+\frac{1}{r^2\sin ^2\theta}\pdv[2]{\phi} \end{equation}$$

• 其中关于r的部分可以理解为径向运动的能量

  $$\begin{equation} T_r=-\frac{\hbar^2}{2mr^2}\pdv{r}\pqty{r^2\pdv{r}} \end{equation}$$

• 其余部分理解为转动的能量

  $$\begin{equation} L^2=-\hbar^2\pqty{\frac{1}{\sin\theta}\pdv{\theta}\pqty{\sin\theta\pdv{\theta}}+\frac{1}{\sin ^2\theta}\pdv[2]{\phi}} \end{equation}$$

3.1 角向解 （考了）

分离变量后角向方程为:

$$\begin{equation} L^2 Y=l(l+1)Y \end{equation}$$

我们对此应该很熟悉，角向解就是球谐函数 . 球谐函数有一些重要的性质

• ，球谐函数的宇称性由角量子数l决定

• ，也就是说，对于偶数的磁量子数，m取正负是不影响球向解的，而对于奇数的磁量子数， 与 除了相位相反之外整体也差一个负号.
  几个简单的球谐函数需要记忆：

  $$\begin{align} Y^0_0=&\sqrt{\frac{1}{4\pi}}\\ Y^{\pm1}_1=&\pm \sqrt{\frac{3}{8\pi}}\sin\theta e^{\pm i\phi}\\ Y^0_1=&\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\cos\theta \end{align}$$

• 对于

  $$\begin{equation} Y^{\pm l}_l=A sin^l\theta e^{\pm il\phi} \end{equation}$$

  其中A为归一化系数。对于磁量子数不等于角量子数的，用升降算符计算:

  $$\begin{align} L_\pm=&(-i\hbar)e^{\pm i\phi} \pqty{\pm i\pdv{\theta}-\cot\theta \pdv{\phi}}\\ L_+\ket{l,m}=&\hbar\sqrt{(l+m+1)(l-m)}\ket{l,m+1}\\ L_-\ket{l,m}=&\hbar\sqrt{(l-m+1)(l+m)}\ket{l,m-1} \end{align}$$

• $L^2=L-L++\hbar L_z+L_z^2$

• $L^2=L+L—\hbar L_z+L_z^2L_z$前面的符号由前面的算符决定，若是降算符就是减号，升算符就是加号。

3.2 径向解

得到角向解后，带入薛定谔方程

$$\begin{align}\pqty{-\frac{\hbar^2}{2mr^2}\pdv{r}\pqty{r^2\pdv{r}}+\frac{L^2}{2mr^2}+V(r)}\psi=&E\psi\\ \pqty{-\frac{\hbar^2}{2mr^2}\pdv{r}\pqty{r^2\pdv{r}}+\frac{\hbar^2 l(l+1)}{2mr^2}+V(r)}\psi=&E\psi \end{align}$$

做换元，得到更简单的方程:

$$\begin{equation} -\frac{\hbar^2}{2mr^2}u''+\pqty{\frac{\hbar^2 l(l+1)}{2mr^2}+V(r)}u=Eu \end{equation}$$

解得的具有一些重要的性质

• 几个简单的函数 $$\begin{align} R_{10}=&Aa^{-3/2} e^{-r/a}\\ R_{20}=&Aa^{-3/2}\pqty{1-\frac{r}{2a}}e^{-\frac{r}{2a}}\\ R_{21}=&Aa^{-3/2}re^{-\frac{r}{2a}} \end{align}$$ 其中A是各自的归一化系数，a是玻尔半径 $$\begin{equation} \frac{1}{a}=\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}\frac{m}{\hbar^2} \end{equation}$$

3.3 能谱与一些定理

• 能量，而，因此能量。

• 埃伦费斯特定理(Ehrenfest’s theorem)

  $$\begin{equation} \dv{\expval{A}}{t}=\frac{1}{i\hbar}\expval{\comm{A}{H}} \end{equation}$$

  与海森堡绘景中的形式很像对吧？

• 位力定理
  对于定态有:

  $$\begin{equation} 2\expval{T}=\expval{r\cdot\nabla V} \end{equation}$$

  上式是从埃伦费斯特定理推导出来的，取 即可，稳态的平均值不随时间变化，很容易可以得到上式。对于氢原子的平均值 ，用位力定理可以很容易得到。

• 费曼-赫尔曼定理(Feynman-Hellmann theorem)

  $$\begin{equation} \pdv{E_n}{\lambda}=\expval{\pdv{H}{\lambda}}{\psi} \end{equation}$$

  相对论修正的时候，对于氢原子的平均值，将 取作参数即可得到上述结果。而若将电荷e取作参数，则可以得到。

3.4 选择定则

所有标量算符与角动量算符对易，而矢量算符都满足$\comm{Ai}{L_j}=i\hbar\epsilon{ijk}A_k$ ，据此可以得到选择定则

• 对于标量算符

  $$\begin{align} \comm{L_z}{f}=&0\\ \Rightarrow m=m'\ \text{or} \ &\mel{nlm}{f}{n'l'm'}=0\\ \comm{L^2}{f}=&0\\ \Rightarrow l=l'\ \text{or} \ &\mel{nlm}{f}{n'l'm'}=0\\ \comm{L_{\pm}}{f}=&0 \end{align}$$

  最后一个对易关系为0可以得到算符f 的矩阵元与m无关.

• 对于矢量算符
  只有一个是比较重要的:

  $$m=m'\ \text{or} \ \mel{nlm}{V_z}{n'l'm'}=0$$

4. 自旋与电磁场

4.1 泡利矩阵

$$\begin{align} \sigma_x=&\mqty(0&1\\1&0)\\ \sigma_y=&\mqty(0&-i\\i&0)\\ \sigma_z=&\mqty(1&0\\0&-1)\ \end{align}$$

泡利矩阵矩阵可以理解为方向算符，是用来问“方向”的，本征值是矢量方向。其性质如下

• $\acomm{\sigmai}{\sigma_j}=2I\delta{ij}$

• $\comm{\sigmai}{\sigma_j}=2i\epsilon{ijk}\sigma_k$

• $\sigmai\sigma_j=I\delta{ij}+i\epsilon_{ijk}\sigma_k$

• 其中AB均为常矢量

• 取z方向的为基矢，任意方向的态写作，该态应该是的本征态，该算符有两个本征值，分别是正负一，代表n轴的不同方向。正方向的态矢写作 ，反方向的写作

• 转动的幺正算符写作，其意义是绕着n轴的顺时针方向旋转 角度。若是幂指数取负号，则是逆时针转动。因此我们若是希望转动角，则转动算符写作

• 将转动算符级数展开可以得到 （考了）

  $$\begin{equation} e^{i\lambda\sigma_n}=I\cos\lambda+i\sigma_n \sin\lambda \end{equation}$$

• 对于算符的转动，由第二节的知识得 这是转动 角的。对于转动后算符的计算，可以从几何含义出发，画个图能得到结果，对于一般的转动轴，几何方法可能不太适用，则可以将转动算符展开成三角函数的形式来计算，也可以利用下面的公式来计算

• ,其中代表算符A和B做n次对易。从这个公式也可以看出，幺正算符对算符B的作用效果，相当于生成元A与B做n次对易的效果之和。

4.2 进动 （考了）

• 磁矩算子 磁场中的哈密顿量写作

• 在薛定谔绘景中用演化算符得到结果

  $$\begin{align} \ket{\chi,t}=&e^{-iHt/\hbar}\ket{\chi,t=0}\\ =&e^{-i\frac{\gamma Bt}{2}\sigma_n}\ket{\chi,t=0} \end{align}$$

  将上式的 视作旋转的角度，即可看出进动的频率是.

• 在海森堡绘景中带入运动方程有

  $$\dv{S}{t}=\frac{1}{i\hbar}\comm{S}{H}$$

只需要算一些对易关系，就可以得到 ,很容易可以得到进动频率.

4.3 带电粒子在电磁场中

• 根据最小耦合原理，哈氏量写作

  $$\begin{equation} H=\frac{1}{2m}\pqty{p-qA}^2-\mu\cdot B+q\phi \end{equation}$$

• 规范变换

若上述哈氏量的解为 ，当电磁场做如下规范变换时

$$\begin{equation} \begin{cases} \phi'=\phi-\pdv{\Lambda}{t}\\ A'=A+\nabla\Lambda \end{cases} \end{equation}$$

哈氏量的解变成. 即当磁矢势增加 时，解的相位增加.

5. 近似方法

5.1 不含时微扰论

代表哈密顿量中的微扰部分。

5.1.1 非简并情况

• 一阶微扰能量 （考了）

  $$\begin{equation} E^1_n=\expval{H'}{\psi_n} \end{equation}$$

• 波函数一阶微扰

  $$\begin{equation} \ket{\psi^1_n}=\sum_{m\neq n}\frac{H'_{mn}}{E^0_n-E^0_m}\ket{\psi^0_m} \end{equation}$$

• 二阶微扰能量

$$\begin{equation} E^2_n=\mel{\psi^0_n}{H'}{\psi^1_n}=\sum_{m\neq n}\frac{\abs{H'_{mn}}^2}{E^0_n-E^0_m} \end{equation}$$

简并情况

• 一阶微扰能量与波函数一阶扰动 $$\begin{equation} H'_{mn}c_n=Ec_n \end{equation}$$

解 是哈密顿量左右都乘上简并态得到的矩阵元，解出本征值即为一阶微扰能量，对应的本征矢即为一阶扰动。

5.2 WKB近似

略.

5.3 含时微扰论

在相互作用绘景中，哈密顿量分为含时与不含时两个部分. 此时幺正变换为 ，得到狄拉克绘景（即相互作用绘景）

• 狄拉克绘景中的传播子为

• 传播子的表达式为戴森序列

  $$\begin{align} U^I=1-\frac{i}{\hbar}\int_0^t \dd{t'} V^I(t')+... \end{align}$$

• 从初态 跃迁到 态的概率为

• 含时部分一般是微扰，我们只计算一阶扰动概率，并且最后回到薛定谔绘景的表达式如下

  $$c^{1}_n(t)=-\frac{i}{\hbar}\int_0^t \dd{t'}e^{i\pqty{E_n-E_i}t/\hbar}\mel{n}{V^S(t')}{i}$$

总的来说就是计算

$$\begin{equation} P_{fi}(t)=\frac{1}{\hbar^2}\abs{\int_0^t\dd{t'}e^{i\omega_{fi}t}V_{fi}(t')}^2 \end{equation}$$

还考了全同粒子的构造