群论学习笔记(part1)

参考教材《Physics from symmetry》-Jakob Schwichtenberg

参考教材3.1-3.6

Lie Group Theory

$$\require{physics}$$

这章将先以转动为例子来介绍李群与李代数。李代数是从李群中抽象出来的一个数学对象，不同的群可能对应于同一个李代数。

接着将会介绍洛伦兹群与庞加莱群，庞加莱群是洛伦兹群加上平移变换。

Groups

群是什么？大致可以理解为集合+一种运算。比如说所有转动操作构成的集合，加上运算符构成转动群。比如说群元素 与 之间的运算 是多少，由运算符的规定给出。

除此之外，对群还有一些数学要求：

• 存在恒元¹

¹. 就是什么也不干的群元素，作用于任何东西上都得到它自己 ↩

• 任意群元都存在逆元，恒元的逆元就是它自己

• 群乘法封闭，即

• 结合律

Rotations in two Dimensions

先研究二维空间中的转动。

特殊正交群

转动的定义中包含有“矢量模长不变”，但显然不只有这个要求，因为起码反射也符合这个要求，因此如果只有“模长不变”的要求的话，那么转动和反射便没有区别。但我们可以先找到所有满足“模长不变”的操作，再从中挑出我们心仪的转动操作。

根据上述定义自然有（选取矩阵表示）

$$\begin{align} v'=&Ov\\ (v')^Tv'=&v^TO^TOv=v^Tv\\ \Rightarrow O^TO=&I \end{align}$$

显然满足“模长不变”的操作的矩阵也满足正交矩阵的定义:

很容易可以证明，以矩阵乘法作为群乘法是封闭的，逆元恒元结合律自然有矩阵运算保证。因此所有2x2的正交矩阵构成二维实空间的正交群。

$$\begin{align} O^TO=&I\\ \Rightarrow \det{O}=&\pm1 \end{align}$$

其中满足的一般矩阵为

$$\begin{align} R=\mqty(\cos\theta&-\sin\ \theta\\ \sin\theta & \cos\theta) \end{align}$$

满足的一般矩阵为

$$\begin{align} P=\mqty(\cos\theta&\sin\ \theta\\ \sin\theta & -\cos\theta) \end{align}$$

很容易验证第一类群元代表纯转动，第二类代表反射（关于反射）。因此把第一类群元挑出来构成另外一个群，称为特殊正交群。

U(1)

同样在复数域中我们很容易可以得到，模长不变的操作满足

$$\begin{align} v'=&Uv\\ (v')^\dagger v'=&v^\dagger U^\dagger Uv=v^\dagger v\\ \Rightarrow U^\dagger U=&I \end{align}$$

对于复数而言，由于欧拉公式，复数天生就很容易可以表示转动，因此我们很容易取到，满足上述要求，以复数乘法为群乘法，构成幺正群。为了与实数域的转动群对比，我们也为其选取矩阵表示(用2x2的实矩阵来表示复数)

$$\begin{align} 1=\mqty(1&0\\0&1),\quad i=\mqty(0&-1\\1&0) \end{align}$$

如此，复数域上的两个基底都被实矩阵表示了，这样复空间中的转动便可以写为

$$\begin{align} e^{i\theta}=&1\cdot \cos\theta+i\cdot \sin\theta\\ =&\mqty(\cos\theta&0\\0&\cos\theta)+\mqty(0&-\sin\theta\\\sin\theta&0)\\ =&\mqty(\cos\theta&-\sin\ \theta\\ \sin\theta & \cos\theta) \end{align}$$

嗯，我们发现复数域中的幺正群的矩阵表示与特殊正交群的矩阵表示一模一样，很显然两个群之间的映射是双射，而且满足，所以群与群同构。

Rotations in three Dimensions

仿照上一节的操作，我们可以得到我们已经很熟悉的群元，一般将其分为绕xyz轴的旋转

$$\begin{align} &R_x=\mqty(1&0&0\\ 0&\cos\theta &-\sin\theta\\ 0&\sin\theta&\cos\theta),\quad R_y=\mqty(\cos\theta&0&\sin\theta\\0&1&0\\ -\sin\theta&0&\cos\theta)\\ &R_z=\mqty(\cos\theta&-\sin\theta&0\\ \sin\theta&\cos\theta&0\\ 0&0&1) \end{align}$$

接着我们会猜想，是否也有一个复数的幺正群与群同构呢？因此接下来便是要研究三维空间中复数的转动。

四元数Quaternions的转动

前面二维空间时，我们选取了两个实自由度的复数域，因此我们或许会猜想这时要选取三个实自由度的复数域，但在数学上，这样的数域定义似乎不是很良好（具体可以查一下三元数），而四元数在抛弃乘法交换律的前提下，性质非常符合我们的要求，因此我们使用四元数来描述三维转动。（很快你会发现，这个四元数跟我们熟悉的泡利矩阵基本算同一个东西）

四元数的构建需要引入另外两个单位复数满足

$$\begin{align} \begin{cases} j^2=k^2=i^2=-1&\\ ijk=1\\ ij=-ji,\ ik=-ki,\ jk=-kj \end{cases} \end{align}$$

注意我们新引入的复数是不满足乘法交换律的，第三行可以从第二行推出来。
将四元数记作，与二维的情况相同，我们要求四元数满足

$$\begin{align} q^\dagger q=&1\\ \Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2=&1 \end{align}$$

四元数在四元数乘法作为群乘法时构成一个群。我们先证明四元数可以对矢量进行转动操作，为此我们要研究四元数的结构。

四元数中三个复数基底之间是不满足交换律的，但他们分别与单位1的乘积是满足交换律的，因此很自然的，三个复数基底自己可以张成一个与单位1没啥关系的向量空间，而且明显是三维的。将这个矢量空间记作W，W空间中的矢量乘积已经被基矢之间的乘积定义了，因此我们可以得到矢量中任意两个矢量之间的乘积为(我们把矢量乘积的符号用来表示，但注意这并不是内积²)

$$\begin{align} u\cdot v=&(ai+bj+ck)\cdot (xi+yj+zk)\\ =&-ax-by-cz\\ &+ayij+azik+bxji+bzjk+cxki+cykj\\ =&-ax-by-cz+(bz-cy)i+(cx-az)j+(ay-bx)k\\ \end{align}$$

现在在这个矢量空间W中定义一个内积括号，其运算规则与高中普通矢量的内积规则相同；同时观察上式的乘积结果，其结果并不能被矢量空间W中的基底线性表示，也就是说这个乘法运算并不是封闭的，根据内积括号与我们曾经学过的叉乘，我们可以将上面的结果写为

$$\begin{align} u\cdot v=&-\expval{u,v}+u\times v \end{align}$$

². “内积”是一种映射:的映射，属于张量，我们在这个矢量空间中还没下这个定义 ↩

好吧，现在矢量空间W中的矢量乘法是不封闭的，听起来不太妙，但是没关系，我们用于转动的是四元数q，而不是这三个虚数，把实维度补充到上面的矢量空间后的空间是四元数的空间，它的乘法是封闭的，设四元数，把每个四元数都写成实数与三维矢量的叠加（聪明的你肯定知道我哪个字母指代的是实数，哪个是虚数矢量），我们再来看看四元数的乘法:

$$\begin{align} q\cdot p=&(m+u)(n+v)\\ =&mn+mv+un+uv\\ =&mn-\expval{u,v}+mv+nu+u\times v\\ \Rightarrow q^\dagger\cdot q=&m^2+\expval{u,u}+u\times u\\ =&\expval{q,q} \end{align}$$

原谅我在这之前还没有在四元数的空间中定义内积括号³，现在我们发现四元数的厄米乘上自身得到的便是该四元数的内积，这与是一样的，因此我们可以很安心地取一个模长为1的四元数q，然后我们声称他可以转动一个三维矢量，你兴冲冲地取来一个矢量，然后把归一化的四元数丢上去，嗯，左边是一个矢量，右边的实数部分可以直接乘上去，但是u也是一个三维矢量，它的基底是，它和乘积得到….？等下，这个式子怎么会有六个矢量基底，你发现这不妥，所以这是三维矢量当然不能拿来表示，四元数自己的运算封闭，你得拿四元数来表示，好在四元数中自带一个三维的矢量空间W，最基本的数乘和矢量加法规则还是满足的，所以我们要用W中的矢量来表示三维空间中的矢量。好了，这下我们的四元数乘矢量的表达式中起码不会出现一堆不知道怎么运算的矢量乘积，但是有一个严重的问题，你可能还看不出来，没关系，你按照我们之前的四元数乘法算一下:

³. 但是没关系，相信你很快就反应过来了 ↩

$$\begin{align} qv=&(m+u)v\\ =&-\expval{u,v}+mv+u\times v \end{align}$$

你说：”我们已经用四元数把矢量转动啦！”但是仔细一瞧，转动后的矢量是哪个矢量呢？甚至不在矢量空间W里，这是一个严重的问题。所以这意味着四元数的转动表示肯定不是，我们也不卖关子了，四元数中的转动应当是 ⁴ :

$$\begin{align} qvq^\dagger=&(m+u)v(m-u)\\ =&(-\expval{u,v}+mv+u\times v)(m-u)\\ =&-m\expval{u,v}+m^2v +mu \times v\\ &+\expval{u,v}u+m\expval{v,u}-mv\times u+\expval{u\times v,u}-u\times v\times u\\ =&m^2v+2mu\times v+\expval{u,v}u\in W \end{align}$$

⁴. 当然，如果你喜欢，也可以定义，只不过你定义的转动方向可能和我的不太一样 ↩

太好了，我们终于得到了四元数表示的转动，很容易验证的内积与的内积是相同的。

证明了四元数本身可以表示转动后，紧接着便要研究四元数的转动群与群之间的联系

双覆盖(double cover)

仿照二维的思路，先为四元数的基矢找到合适的矩阵表示，合适的矩阵表示有很多种，但这里选择2x2矩阵来表示(为了和泡利矩阵对应，这里的矩阵和书上的不太一样)

$$\begin{align} 1=\mqty(1&0\\0&1),&\quad i=\mqty(0&i\\ i&0)\\ j=\mqty(0&1\\-1&0),&\quad k=\mqty(i&0\\0&-i) \end{align}$$

我们现在得到了四元数的矩阵表示，而且行列式为+1，上面的四元数构成特殊酉群。
任意转动，以绕z轴为例

$$\begin{align} R_z(\theta)=&\cos\theta+\sin\theta k\\ =&\mqty(e^{i\theta}&0\\ 0&e^{-i\theta}) \end{align}$$

取矢量:

$$\begin{align} R_z(\theta)vR^\dagger(\theta)=&\mqty(e^{i\theta}&0\\ 0&e^{-i\theta})\mqty(0&i\\ i&0)\mqty(e^{-i\theta}&0\\ 0&e^{i\theta})\\ =&\mqty(0&ie^{2i\theta}\\ie^{-2i\theta}&0)\\ =&\mqty(0&i\cos2\theta-\sin2\theta\\i\cos2\theta+\sin2\theta&0)\\ =&(\cos2\theta,-\sin2\theta,0)^T \end{align}$$

其转动的角度为，因此群中的参数为或对应的群元便可以与中的群元同构，换句话说两个群之间的映射不是单射，因此不满足双射，群与群不是同构关系，而是群双覆盖群。书中喜欢用半球与完整求的关系来比喻两个群，但我觉得抛物线与的关系更适合比喻两个群（或者单层吉士堡也很贴合）。

李代数 Lie Algebras

李群中的任一群元可以从生成元+指数映射得到。这应该是从物理意义得到的，比如说三维空间轴绕z轴的转动的操作，指数函数的定义告诉我们，可以表示成

$$\begin{align} R_z(\theta)=&\lim_{N\to \infty}(1+\frac{\theta}{N}J_z)^N\\ =&e^{\theta J_z} \end{align}$$

若是把转动群理解为参数同胚群，则生成元便是在流行上指定了方向，选择了一条参数曲线，参数是。流形上选定了图集后，自然便有n个坐标基矢，对应n个独立的方向，这应该对应生成元的基底？

• 对于任意群元可以通过求导，然后参数取0得到

  $$\begin{align} J_z=&\eval{\dv{\theta}R_z}_{\theta=0} \end{align}$$

• 生成元本身构成一个向量空间，其中的乘法用李括号来定义，这个乘法是线性且封闭的，且不满足交换律、满足雅阁比恒等式

  $$\begin{align} \begin{cases} \comm{A}{B}=-\comm{B}{A}\\ \comm{A}{\comm{B}{C}}+\comm{B}{\comm{C}{A}}+\comm{C}{\comm{A}{B}}=0 \end{cases} \end{align}$$

• 李代数与群的关系是：多个群可能对应同一个李代数

以为例

• 群元素满足，即，生成元反对称

  $$\begin{align} J^T+J=I \end{align}$$

• 同时特殊正交群还要求，由矩阵论中的结论的得生成元无迹

  $$\begin{align} \tr{J}=0 \end{align}$$

• 特殊正交群生成元基底的写出，我们实际上是将已知的转动矩阵小量展开到一阶，或者用前面提到的求导的方法：

  $$\begin{align} J_1=\mqty(0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0),\quad J_2=\mqty(0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0),\quad J_3=\mqty(0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0) \end{align}$$

  很容易可以得到，生成元的的矩阵表示为

  $$\begin{align} (J_i)_{jk}=-\epsilon_{ijk} \end{align}$$

  也很容易验证，上式与参数带入指数里，可以得到先前的转动矩阵。

• 因为李代数的乘法运算是李括号，所以只需要知道基底的李括号，便可以得到李代数中所有生成元之间的乘积（是不是让你想起基本对易关系）

  $$\begin{align} \comm{J_i}{J_j}=&\epsilon_{ijk}J_k \end{align}$$

• 比起反对称矩阵，我们更喜欢厄米矩阵，因为厄米算符在量子力学中尤其重要，因此

  $$\begin{align} e^{\theta J}=e^{-i\theta iJ} \end{align}$$

  我们把上面的重新定义为，则生成元可以写成

  $$\begin{align} J_1=\mqty(0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0),\quad J_2=\mqty(0&0&i\\0&0&0\\-i&0&0),\quad J_3=\mqty(0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0) \end{align}$$

  如此得到的转动效果与原先是一样的。对易关系变为

  $$\begin{align} \comm{J_i}{J_j}=&i\epsilon_{ijk}J_k \end{align}$$

以为例

• 有了前面的讨论，这里我们直接在指数上放上一个虚数i，则酉群的定义要求生成元是厄米矩阵

  $$\begin{align} U^\dagger U=&I\\ e^{-iJ^\dagger}e^{iJ}=&I\\ \Rightarrow J^\dagger=J \end{align}$$

• 特殊酉群要求行列式为0，因此生成元也是无迹的

• 的生成元正是泡利矩阵

  $$\begin{align} \sigma_x=\mqty(0&1\\1&0),\quad \sigma_y=\mqty(0&-i\\i&0),\quad \sigma_z=\mqty(1&0\\0&-1) \end{align}$$

• 泡利矩阵满足如下对易关系（关于更多泡利矩阵可以参考这里的“自旋”章节)

  $$\begin{align} \comm{\sigma_i}{\sigma_j}=2i\epsilon_{ijk}\sigma_k \end{align}$$

• 泡利矩阵作为李代数空间的基底，基底当然可以任意选取长度，我们选作为基底，则基底的对易关系便于的相同

到此，我们已经发现了的李代数与的相同，为了进一步描述群，我们需要给群下一个更抽象的定义，分清它与矩阵的关系。

李群的抽象定义

简单来说：李群=群+流形

此外，我们还要求群乘法必须要诱导出一个流形到流形本身的映射。这是很好理解的，因为群和流形最基本的属性是一个集合，群元便是集合的元素，自然也应当是流形上的点。既然群元运算本身是封闭的$g3=g{1}\circ g_{2}\in G$，那么它应当对应流形上的一个点，从这个角度来看，群乘法自然是从流形到流形的映射。

有了这个定义后，我们便可以进一步理解什么叫群是群的二重覆盖，其实的流形长得就像两个流形的拼接。

\begin{document} 
\begin{tikzpicture}[domain=0:2.5] 
\draw[very thin,color=gray] (-2.1,-2.1) grid (2.5,2.5);
\draw[->] (-2.2,0) -- (3,0) ;
\draw[->] (0,-1.2) -- (0,3.2) ;
\draw[color=red] plot (\x,{0.3*\x*\x}) node[right] {$SO(3)$}; 
\end{tikzpicture} 
\begin{tikzpicture}[domain=-2.5:2.5] 
\draw[very thin,color=gray] (-2.1,-2.1) grid (2.5,2.5);
\draw[->] (-2.2,0) -- (3,0) ;
\draw[->] (0,-1.2) -- (0,3.2) ;
\draw[color=red] plot (\x,{0.3*\x*\x}) node[right] {$SU(2)$}; 
\end{tikzpicture} 
\end{document}

他们的关系有点像上面两个图，但当然没这么简单，这只是一个示意。
如果你还记得的话，同一个李代数可以对应多个群，但其中有一个群是最特殊的群，这个群往往可以覆盖其他群，而且是简单单连通的，一般叫做覆盖群，比如前面的就是一个例子。而自然界往往会选择覆盖群来描述粒子的基本属性，而不是用其他的群。

表示论 Representation Theory

一个群可以作用于多个对象，被作用的对象往往处于某个线性空间中，当群作用在这个对象上的时候，其作用效果往往是一个矩阵作用在矢量上，在这个线性空间中，所有的群元操作对应一群变换矩阵（他们会作用在矢量上，得到变换后的矢量）。将群与变换矩阵联系在一起的映射就叫做表示

$$\begin{align} R:g\to R(g) \end{align}$$

我们要求这个映射是同态的

$$\begin{align} R(g_{1})R(g_{2})=&R(g_{1}\circ g_{2}) \end{align}$$

我们找了一个矢量空间，对应便有一个表示，若矢量空间中存在一个子空间，让群的变换矩阵作用在子空间上的任意元素上得到的结果依旧在这个子空间中，则称这个空间为不变子空间，如此我们可以定义一个子表示，这个子表示的矩阵作用在子空间上的元素上得到的结果依旧属于这个不变子空间，且作用效果与相同。

如果出现了这种情况，我们说这是一个可约表示(reducible representation)。反之则是不可约表示，而不可约表示才是更加基础的，因为它不是由其他更小的表示组成。举一个关于可约表示的，可能不太恰当的例子，加入空间是四维的，取子空间为，而群表示的变换矩阵为 ,很显然我们可以取块矩阵A作为一个子表示的变换矩阵.

群表示论是十分强大的，我们即将看到它强大的威力。
我们首先需要介绍表示论中两个重要的概念：卡西米尔元素和嘉当元素。

卡西米尔元素

对于一个群，它可以有很多个表示，我们想要区分这些不同的表示，所以我们引入了卡西米尔元素，他的定义是与所有的生成元都对易的一个群元素。

$$\begin{align} \comm{C}{X}=0 \end{align}$$

在李群中有一个Schur定理告诉我们，若群中一个元素与所有群元素的对易，则该元素的矩阵表示一定是,其中是一个常数，为的特征值。这里的就是我们的卡西米尔元素。我们用卡西米尔元素来区分不同的表示。

对于前面的李代数$\comm{Ji}{J_j}=i\epsilon{ijk}J_kJ^2=J_x^2+J_y^2+J^2_z$是一个与所有生成元都对易的元素。（这其实就是角动量的平方，如果你忘了，请戳这里这里复习）这个角动量平方算符便是该李代数的卡西米尔元素。很显然，这里的便是我们对某个特定表示的标记。

嘉当元素

对于一个群的表示的表示空间，我们也寻找一种方式来标记它的基底。群表示的若干个生成元中，至少有一个可以被对角化，我们使用这些可以对角化生成元来得到基底的标记。嘉当元素就是这些可对角化生成元的特征值。

比如说群的生成元中只有是可以被对角化的（实际上已经对角化了）

$$\begin{align} J_3=\frac{1}{2}\mqty(1&0\\0&-1) \end{align}$$

所以该表示空间的嘉当元素就是,，我们将该矩阵的本征矢作为表示空间的基底，用两个本征值来标记两个基底，同时用来标记我们选取的表示:，也就是.我们可以进一步约定，用取代来区分表示，这样群的表示空间的基底可以写为.

综上，对于一个给定的李代数，会有一个与之对应的覆盖群。对于一个群有多种表示方法，根据给定的李代数我们可以写出一个或多个特殊的算符，该算符作用在系统上能够返回一个特定的常数，该常数被我们称为卡西米尔元素，不同表示的卡西米尔元素不同，所以我们用卡西米尔元素来标记同一个群的不同表示。接着，我们要为表示空间选取基底，选取可对角化的生成元的本征矢作为表示空间的基底，用本征值标记表示空间基底便是自然而然的事情，用于标记表示空间基底的几个本征值被称为嘉当元素。

升降算符

从前面的讨论我们知道，对于被群作用的对象，我们选取了基底，卡西米尔算子作用在表示空间的任意矢量上显然都得到数乘该矢量，所以我们对其基底作用效果为

$$\begin{align} J^2\ket{j,m}=j(j+1)\ket{j,m} \end{align}$$

接着，我们的基底是生成元的本征矢，所以很显然该生成元作用在表示空间的基矢上有

$$\begin{align} J_3\ket{j,m}=m\ket{j,m} \end{align}$$

你是否觉得上面的表达式十分眼熟⁵，所以你显然猜到了升降算符的表达式

$$\begin{align} J_{\pm}=J_x\pm iJ_y \end{align}$$

⁵. 这不就是角动量，以及角动量在z方向的分量吗？ ↩

借助基矢的对易关系和量子力学的知识，我们很容易得到

$$\begin{align} J_3J_\pm\ket{j,m}=(m\pm1)J_{\pm}\ket{j,m} \end{align}$$

所以升降算符作用在某个基矢上可以得到另外一个基矢，且他们的嘉当元素相差正负一。

但是因为我们处理的是有限维度的表示，我们的表示空间当然是有限维的，因此基矢个数是有限的，所以我们不可能无限次使用升降算符得到其他基矢，应当存在某个和使得

$$\begin{align} J_+\ket{j,h}=&0\\ J_-\ket{j,b}=&0 \end{align}$$

对于这两个特定的基矢，我们把卡西米尔算子作用在上面得到

$$\begin{align} J^2\ket{j,h}&=j(j+1)\ket{j,h}\\ (J_-J_++J_3+J_3^2)\ket{j,h}&=h(h+1)\ket{j,h}\\ \Rightarrow j&=h \end{align}$$

同理有

$$\begin{align} J^2\ket{j,b}&=j(j+1)\ket{j,b}\\ (J_+J_--J_3+J_3^2)\ket{j,b}&=b(b-1)\ket{j,b}\\ \Rightarrow j&=-b \end{align}$$

因此最大的嘉当元素和最小的嘉当元素分别为，嘉当元素之间一定相差整数。从到显然嘉当元素有个，因此一定是一个整数，是一个整数或者半整数，…

有了如上结论后，我们便可以根据给定的卡西米尔元素写出相应的嘉当元素，然后写出生成元的矩阵表达式，再根据升降算符的性质写出升降算符的矩阵表达式，然后再得到和。(这里的分别代表). 也就是说我们可以写出给定维度表示空间的群表示。

以为例

前面得到的泡利矩阵生成元在被我们乘上二分之一后，给出的嘉当元素是正负二分之一，是对易的表示，表示空间是二维的，我们我们根据卡西米尔算子和嘉当元素写出三维表示空间的生成元。

三维的嘉当元素显然是，对应的，因此生成元便是

$$\begin{align} J_3=\mqty(1&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&-1) \end{align}$$

三个基矢分别为:

$$\begin{align} \begin{cases} \ket{1,1}=\mqty(1,0,0)^T\\ \ket{1,0}=\mqty(0,1,0)^T\\ \ket{1,-1}=\mqty(0,0,1)^T \end{cases} \end{align}$$

根据上升算符的作用效果可以得到

$$\begin{align} J_+=\mqty(0&\sqrt{2}&0\\ 0&0&\sqrt{2}\\ 0&0&0) \end{align}$$

可以验证$J+\ket{1,1}=0,J+\ket{1,0}=\sqrt{2}\ket{1,1},J_+\ket{1,-1}=\sqrt{2}\ket{1,0}\hbar$系数)

同理可以的得到

$$\begin{align} J_-=\mqty(0&0&0\\ \sqrt{2}&0&0\\ 0&\sqrt{2}&0) \end{align}$$

根据升降算符的定义:

$$\begin{align} J_1&=\frac{1}{\sqrt{2}}\mqty(0&1&0\\ 1&0&1\\ 0&1&0)\\ J_2&=\frac{1}{\sqrt{2}}\mqty(0&-i&0\\ 1&0&-i\\ 0&1&0) \end{align}$$

如此便可以得到三维表示生成元（三维是指表示空间是三维的）

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